Montrer qu'un point \((x,y)\) est constructible si et seulement si ses deux coordonnées \(x\) et \(y\) le sont

\(\implies\) : projeté orthogonaux
On veut montrerqu'on peut construire \((x,y)\) si et seulement si on peut construire \((x,0)\) et \((y,0)\)
On raisonne par double implication
\(\implies\) : \((x,0)\) est le projeté orthogonal de \((x,y)\) sur l'axe des réels et \((0,y)\) est le projeté orthogonal de \((x,y)\) sur \({\Bbb R} i\)

Tracer un cercle pour que \(y\) soit sur le bon axe
$$\mathcal C\left(0,\binom0y\right)\cap{\Bbb R}=\{(y,0),(-y,0)\}$$

\(\impliedby\) : ramener \(y\) sur le bon axe et compléter le rectangle

\(\impliedby\) : $$\mathcal C\left(0,\binom y0\right)\cap{\Bbb R} i=\{(0,y),(0,-y)\}$$
(\({\Bbb R} i\) est constructible car c'est la perpendiculaire à \({\Bbb R}\) passant par \((1,0)\))
On complète le rectangle \(0,(0,y),(x,y),(x,0)\)

Montrer que tout point de \({\Bbb Z}^2\) est constructif

Simplification du problème via une propriété
Puisque un point \((x,y)\) est constructible si et seulement si ses deux coordonnées \(x\) et \(y\) sont constructibles, il suffit de construire \({\Bbb Z}\subset{\Bbb R}\)

Récurrence \(\to\) on peut tracer les nombres positifs et négatifs

On procède par récurrence
\(0\) et \(1\) sont déjà construits
De plus, si \(n\) est constructible, alors $${\Bbb R}\cap\mathcal C((n,0),1)=\{(n-1,0),(n+1,0)\}$$

Montrer que si \(A\) et \(B\) sont constructibles, alors la distance \(AB\) est constructible

$$\mathcal C(O,AB)\cap{\Bbb R}$$

Montrer que \(\sqrt2\) et \(\sqrt3\) sont constructibles, puis montrer que \(\sqrt n\) pour \(n\in{\Bbb N}\) est constructible

Initialisation de la récurrence
On procède par récurrence sur \(n\)
\(n=1\) est donné par l'énoncé

Si \(\sqrt n\) est constructible, alors \(\sqrt{n+1}\) est constructible de la façon suivante :

(Théorème de Pythagore)

Montrer que tout rationnel est constructible

Tracer le numérateur et le dénominateur
On construit \((p,0)\) et \((0,q)\) (avec \(p\in{\Bbb Z},q\in{\Bbb N}^*\))

Tracer la parallèle passant par \(1\)

On trace la parallèle passant par \(1\) à \([(p,0),(0,q)]\)

Montrer que l'ensemble des nombres réels constructibles n'est pas \({\Bbb R}\) et qu'il est stable par :

• somme et différence
• produit et inverse
• racine carré

\(\mathcal C\ne{\Bbb R}\) via dénombrabilité
\(\mathcal C\ne{\Bbb R}\) car \({\Bbb R}\) est non dénombrable, mais \(\mathcal C\) est dénombrable

Mq \(\mathcal C\) est dénombrable par récurrence
Soit \(\mathcal C_n=\{\text{points constructibles en }\leqslant n\text{ étapes}\}\)
On a \(\operatorname{Card}(\mathcal C_0)=2\) (\(\mathcal C_0=\{0,1\}\))
De plus, si \(\mathcal C_n\) est fini, alors \(\mathcal C_{n+1}\) est également fini
En effet, si \(\operatorname{Card}(\mathcal C_n)=p\), alors le nombre de points que l'on peut avoir pour \(\mathcal C_{n+1}\) est donné par :
$$\leqslant\left(\underbrace{\frac{p(p-1)}2}_{\text{droites}}+\underbrace{p(p-1)}_{\text{cercles}}\right)\left(\frac{p(p-1)}2+p(p-1)-1\right)$$ (c'est le nombre d'intersections maximal de droites et de cercles)
Donc $$\mathcal C=\underbrace{\bigcup_{n\in{\Bbb N}}}_{\text{dénombrable}} \underbrace{\mathcal C_n}_{\text{fini}}$$ donc \(\mathcal C\) est dénombrable

Stabilité par somme et différence via exo précédent
Stabilité par somme et différence est démontrée par questions précédentes

Stabilité par produit via Thalès
On choisit \(a\in {\Bbb R} i\)
On trace deux parallèles \((1,a)\) et \((x,xa)\)
On trace deux parallèles \((a,y)\) et \((ax,xy)\)

(car lorsqu'on trace une parallèle, les coordonnées sont multipliées par le même coefficient d'après le théorème de Thalès)

Stabilité par inverse via Thalès7
Idem pour la stabilité par l'inverse en reportant \(1\) et \(x\) sur \({\Bbb R} i\)

Stabilité par la racine carrée

Pour la stabilité via la racine carrée, on trace un cercle pour "forcer" le théorème de Pythagore
En effet, $$\sqrt{\left( x-\frac{x-1}2\right)^2-\left(\frac{x-1}2\right)^2}=\sqrt x$$

(Ensemble dénombrable, Théorème de Thalès)

Soient \(O(0,0)\) et \(I(1,0)\) deux points donnés du plan euclidien
Illustrer par un dessin et donner un programme de construction à la règle et au compas à partir de \(O\) et \(I\) du point \(J(0,1)\)

C'est l'intersection de \(\mathcal C(O,I)\) et de la perpendiculaire à \((OI)\) passant par \(O\)

Soient \(O(0,0)\) et \(I(1,0)\) deux points donnés du plan euclidien
Illustrer par un dessin et donner un programme de construction à la règle et au compas à partir de \(O,I,J(0,1)\) du point \(K(\frac23,0)\)

Tracer le point \((3,0)\)
$$\mathcal C(I,O)\cap(OI)=\{O,U\}\qquad\mathcal C(O,I)\cap(OI)=\{I,V\}$$

Reporter les longueurs et trouver un parallélogramme
$$\mathcal C(U,JV)\cap\mathcal C(J,UV)=\{M,N\}$$
Avec \((UVJN)\) un parallélogramme

Tracer \(E,F\) de la médiatrice de \([II^\prime]\) pour avoir la droite \({\Bbb R} i\)

Intersection de l'axe \({\Bbb R} i\) avec le point \((2,0)\) \(\to\) reporter sur l'axe \({\Bbb R}\)

$$(UM)\cap(EF)=P\qquad \mathcal C(O,P)\cap[OU)=K\binom{2/3}0$$

Les coordonnées de \(K\) sont ce qu'elles sont car les parallèles multiplient toutes les coordonnées par le même coefficient

Soient \(O(0,0)\) et \(I(1,0)\) deux points donnés du plan euclidien
Illustrer par un dessin et donner un programme de construction à la règle et au compas à partir de \(O,I,J(0,1),K(0,\frac23)\) des points \(L\in[OI)\) et \(M\) tels que \(\triangle OLM\) soit rectangle en \(M\), \(OL=\frac43\) et \(LM=\frac23\)

Tracer \(L\) le symétrique de \(K\) par rapport à \(I\)
$$\mathcal C(I,K)=(OI)=\{K,L\}$$

\(M,N\) sont les points de la bissectrice

$$\mathcal C(Z,O)\cap\mathcal C(L,K)=\{M,N\}$$